Aplicaciones de la trigonometría en la ingeniería y la Astronomía

¿Alguna vez te has preguntado cómo los matemáticos relacionan los ángulos con los lados de un triángulo? La respuesta está en las razones trigonométricas, una herramienta poderosa para resolver triángulos, construir modelos y entender fenómenos naturales. En esta guía te explico qué son, cómo se calculan y te doy ejemplos claros para que no se te escape ningún detalle.

En obras de infraestructura como carreteras, puentes, canales y edificaciones, es común ver a los topógrafos utilizando instrumentos como el teodolito, la cinta métrica y reglas graduadas. ¿Su objetivo? Medir ángulos y distancias, generalmente formando triángulos. Esto se debe a que la triangulación es una técnica fundamental en los trabajos topográficos, los cuales son esenciales para planificar y ejecutar proyectos de ingeniería con precisión.

En este capítulo nos enfocaremos en el estudio de los triángulos rectángulos. Las propiedades que analizaremos serán clave para resolver ejercicios relacionados con ángulos verticales y horizontales. Entre las aplicaciones más destacadas de estos conceptos se encuentran el cálculo del diámetro terrestre y la distancia entre la Tierra y el Sol.

Cabe destacar que la Trigonometría, en sus orígenes, estuvo estrechamente ligada a la Astronomía. Fue desarrollada inicialmente por Hiparco en la antigüedad y más adelante utilizada por Galileo Galilei para estudiar el movimiento de los planetas. Esta conexión histórica subraya la importancia de la Trigonometría no solo en la Tierra, sino también en la exploración del cosmos.

Al calcular la medida del diámetro de la Tierra desde un satélite se observa que la bisectriz del ángulo así determinada señala al centro de la Tierra. (El punto P se halla en la superficie). El uso de las razones trigonométricas en el triángulo rectángulo generado nos permite obtener

¿Qué son las razones trigonométricas?

Las razones trigonométricas son cocientes (divisiones) entre los lados de un triángulo rectángulo, asociados a uno de sus ángulos agudos. Las tres razones principales son:

Es importante observar que las razones trigonométricas son cantidades numéricas adimensionales (no poseen unidades). Entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo se establecen 6 razones trigonométricas, a saber:

Tabla de Razones Trigonométricas

Sea 0 un ángulo agudo de dicho triángulo rectángulo, entonces:

Nombre	Símbolo	Definición
Seno de theta	senθ	longitud del cateto opuesto de θ / longitud de la hipotenusa
Coseno de theta	cosθ	longitud del cateto adyacente de θ / longitud de la hipotenusa
Tangente de theta	tanθ	longitud del cateto opuesto de θ / longitud del cateto adyacente de θ
Cotangente de theta	cotθ	longitud del cateto adyacente de θ / longitud del cateto opuesto de θ
Secante de theta	secθ	longitud de la hipotenusa / longitud del cateto adyacente de θ
Cosecante de theta	cscθ	longitud de la hipotenusa / longitud del cateto opuesto de θ

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Ejemplo:

Calcula las razones trigonométricas del ángulo α en el siguiente gráfico:

teorema de pitagoras, razones trigonometricas de un angulo agudo

Por el teorema de pitágoras:

x² = 4² + 6²

x² = 16 + 36

x² = 52

x = √52

Del gráfico, para α, cateto opuesto: 4; cateto adyacente: 6; hipotenusa: √52

Luego, se tiene:

teorema de pitagoras, razones trigonometricas de un angulo agudo

Importante:

Las razones trigonométricas son adimensionales, es decir, no tienen unidades.

Las razones trigonométricas no dependen de las longitudes de los lados que determinan el ángulo, solo dependen de la medida del ángulo.

1. Carolina utilizó cartulina para elaborar una pancarta a favor del cuidado del océano y participar en un pasacalle por las principales avenidas de su comunidad. Observa la imagen de la pancarta e indica el valor de “cos β”.

Resolución:

Por el teorema de Pitágoras:

$x^2 = 50^2 - 30^2$

$x^2 = 2500 - 900$

$x^2 = 1600 \rightarrow x = 40$

Piden: $\cos \beta = \frac{40}{50} = \frac{4}{5}$

Rpta.: El valor de $\cos \beta$ es $\frac{4}{5}$ .

2. Observa el siguiente gráfico. Luego, determina el valor de « $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$ «.

Resolución:

$\frac{25}{12}$

Resolución:

Por el teorema de Pitágoras:

$10^2 = x^2 + 6^2$

$100 = x^2 + 36$

$64 = x^2$

$x = 8$

Luego:

$\operatorname{tg} \alpha = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}; \operatorname{ctg} \alpha = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Piden: $\frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{9 + 16}{12} = \frac{25}{12}$

Rpta.: El valor de $\operatorname{tg} \alpha + \operatorname{ctg} \alpha$ es $\frac{25}{12}$

3. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se cumple que $\operatorname{tg} A = 0,5$ . Interpreta los datos y calcula el valor de « $\operatorname{sen} A + \cos A$ «.

Resolución:

Por dato, $\operatorname{tg} A = 0,5 = \frac{1}{2}$

$\rightarrow \frac{a}{c} = \frac{1}{2}; a = k; c = 2k$

Por el teorema de Pitágoras:

$b^2 = c^2 + a^2$

$b^2 = (2k)^2 + k^2$

$b^2 = 5k^2$

$b = k\sqrt{5}$

Piden:

$\operatorname{sen} A + \cos A = \frac{a}{b} + \frac{c}{b}$

$= \frac{k}{k\sqrt{5}} + \frac{2k}{k\sqrt{5}} = \frac{3k}{k\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Rpta.: El valor de $\operatorname{sen} A + \cos A$ es $\frac{3}{\sqrt{5}}$

4. Mathías puso a la venta una parcela destinada para la siembra de paltas. El terreno tiene forma de triángulo rectángulo y un perímetro de 112 m. Además, se sabe que el seno de uno de sus ángulos agudos es 24/25. Interpreta los datos e indica la longitud del cateto menor.

Resolución:

Por dato: sen α = 24/25 = C.O/H → C.O = 24k; H = 25k

Por el teorema de Pitágoras:

(25k)² = (24k)² + x²

625k² = 576k² + x²

x² = 49k² → x = 7k

Por dato del perímetro: 25k + 24k + 7k = 112

56k = 112 → k = 2

Piden: 7k = 7(2) = 14

Rpta.: La longitud del cateto menor es 14 m.

5. Analiza el siguiente gráfico. Luego calcula el valor de «Tgα . Tgβ»

Resolución:

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Del gráfico, en el Δ ABC:

tg α = m / (3n + 5n) = m / 8n

En el Δ ABP:

tg β = 5n / m

Piden: tg α · tg β = (m / 8n)(5n / m) = 5 / 8

Rpta.: El valor de «tg α · tg β» es 5/8.

6. Observa la imagen que muestra la rampa de un camión que trasladará implementos de limpieza, como bolsas y guantes, para los voluntarios que participarán de una campaña de limpieza en las riberas del río Rímac. Luego, calcula el valor de «2sen β + 3cos α».

Resolución

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