Ejercicios resueltos de productos notables
Índice:
1) Concepto – ¿Cómo entenderlo de manera sencilla?
2) Binomio al cuadrado – ejemplos.
3) Binomio al cubo – ejemplos.
4) Diferencia de cuadrados – ejemplos.
5) Producto de binomios con término en común.
6) Suma y diferencia de cubos.
7) Identidades de Legendre.
8) Trinomio al cuadrado.
9) Trinomio al cubo.
10) Identidad de Gauss.
11) Identidad de Argan ’d.
Productos notables – TEORÍA Y PRÁCTICA
1) Concepto, ¿cómo entender los productos notables de manera sencilla?
PRIMERO comprendamos lo que es una multiplicación algebraica: Es una multiplicación de dos polinomios llamados multiplicando y multiplicador, donde se obtiene un resultado llamado producto. Así:
A(x).B(x) = P(x)
Por ejemplo:
Entonces, ¿qué son los productos notables?
Se llaman «productos» porque resultan a partir de una multiplicación algebraica y «notables» porque su forma es tan común y se destaca entre muchas otras multiplicaciones, de esta manera ya no tenemos que multiplicar cada término, sino que podemos reemplazar directamente el resultado según el MODELO DEL PRODUCTO NOTABLE, como detallaremos a continuación:
2) Binomio al cuadrado.
La suma de dos términos al cuadrado.
El resultado se llama «Trinomio cuadrado perfecto» (T.C.P)
(a+b)² = a² + 2ab + b²
Te sugiero recordarlo así:
«El primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado»
La diferencia de dos términos al cuadrado.
(a-b)² = a² – 2ab + b²
Ejemplos:
(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25
(m – 4)² = m² – 2.m.4 + 4² = m² – 8m + 16
(-x + 3)² = (3 – x)² = 3² – 2.3.x + x² = 9 – 6x + x²
(2x – 4y)² = (2x)² – 2(2x).(4y) + (4y)² = 4x² – 16xy + 16y²
(3a³ + 7b⁴)² = (3a³)² + 2(3a³)(7b⁴) + (7b⁴)² = 9a⁶ + 42a³b⁴ + 49b⁸
Cómo comprenderlo geométricamente:
3) Binomio al cubo.
La suma de dos términos al cubo.
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Forma abreviada:
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
Formas de leerlo:
«El primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el segundo al cuadrado, más el segundo al cubo«
«a cubo, más 3a-cuadrado por b, más 3a por b-cuadrado, más b cubo«
«Suma de cubos, más 3ab por a más b»
La diferencia de dos términos al cubo.
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Forma abreviada
(a-b)³ = a³ – b³ – 3ab(a-b)
Cómo completar la propiedad sin tener que memorizar término por término – Probemos con el TRIÁNGULO DE PASCAL
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