Ejercicios resueltos de productos notables
Índice:
1) Concepto – ¿Cómo entenderlo de manera sencilla?
2) Binomio al cuadrado – ejemplos.
3) Binomio al cubo – ejemplos.
4) Diferencia de cuadrados – ejemplos.
5) Producto de binomios con término en común.
6) Suma y diferencia de cubos.
7) Identidades de Legendre.
8) Trinomio al cuadrado.
9) Trinomio al cubo.
10) Identidad de Gauss.
11) Identidad de Argan ’d.
12) Identidades condicionales.
Productos notables – TEORÍA Y PRÁCTICA
1) Concepto, ¿cómo entender los productos notables de manera sencilla?
PRIMERO comprendamos lo que es una multiplicación algebraica: Es una multiplicación de dos polinomios llamados multiplicando y multiplicador, donde se obtiene un resultado llamado producto. Así:
A(x).B(x) = P(x)
Por ejemplo:
Entonces, ¿qué son los productos notables?
Se llaman «productos» porque resultan a partir de una multiplicación algebraica y «notables» porque su forma es tan común y se destaca entre muchas otras multiplicaciones, de esta manera ya no tenemos que multiplicar cada término, sino que podemos reemplazar directamente el resultado según el MODELO DEL PRODUCTO NOTABLE, como detallaremos a continuación:
2) Binomio al cuadrado.
La suma de dos términos al cuadrado.
El resultado se llama «Trinomio cuadrado perfecto» (T.C.P)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Te sugiero recordarlo así:
«El primero al cuadrado más dos veces el primero por el segundo más el segundo al cuadrado»
La diferencia de dos términos al cuadrado.
(a – b)² = a² – 2ab + b²
Ejemplos:
(x + 5)² = x² + 2.x.5 + 5² = x² + 10x + 25
(m – 4)² = m² – 2.m.4 + 4² = m² – 8m + 16
Por comodidad, cuando los términos tengan algún signo negativo adicional o estén compuestos con más letras y números, vamos a ponerlos ENTRE PARÉNTESIS.
(-x + 3)² = (-x)² + 2.(-x).3 + 3² = x² – 6x + 9
(2x – 4y)² = (2x)² – 2(2x).(4y) + (4y)² = 4x² – 16xy + 16y²
Si los términos tienen sus propios exponentes, se aplicará la ley de exponentes para juntarlos.
(3a³ + 7b⁴)² = (3a³)² + 2(3a³)(7b⁴) + (7b⁴)² = 9a⁶ + 42a³b⁴ + 49b⁸
(x + 1/x)² = (x)² + 2(x).(1/x) + (1/x)² = x² + 2 + 1/x²
- Si a+b = 5 / ab= 12, hallar a²+b²
Reemplzamos los datos en la propiedad:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
5² = a² + b² + 2(12)
25 – 24 = a² + b²
a² + b² = 1
Cómo comprender la propiedad geométricamente:
¿Cómo reconocer un trinomio cuadrado perfecto?
Sea el trinomio:
a² + 2ab + b²
1) Sacar la «raíz cuadrada» de los extremos.
En este caso resultan: a y b
2) Verificar si, el doble del producto de estos resultados, resulta el término central.
Se verifica que 2.(a)(b) = 2ab
Nota: Se multiplica con «-2» si el término central es negativo.
Ejemplos:
- Verificar si es un T.C.P.:
4m² + 12mn + 9n²
Ver resolución
1) Sacamos raíz cuadrada a los extremos:
√(4m²)= 2m ; √(9n²)= 3n ✔️
2) El doble producto de los resultados:
2(2m.3n) = +12mn✔️
Coinciden, por lo tanto SÍ ES UN T.C.P.
- Verificar si es un T.C.P.:
16x² – 8x + 1
Ver resolución
1) Sacamos raíz cuadrada a los extremos:
√(16x²)= 4x ; √(1)= 1 ✔️
2) El doble producto de los resultados:
-2(4x.1) = -8x ✔️
Coinciden, por lo tanto SÍ ES UN T.C.P.
- Verificar si es un T.C.P.:
x² + 2x + 4
Ver resolución
1) Sacamos raíz cuadrada a los extremos:
√(x²)= x ; √(4)= 2 ✔️
2) El doble producto de los resultados:
2(x.2) = 4x ❌
No coinciden, por lo tanto NO ES UN T.C.P.
3) Binomio al cubo.
La suma de dos términos al cubo.
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Forma abreviada:
(a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b)
Formas de leerlo:
«El primero al cubo más tres veces el primero al cuadrado por el segundo, más tres veces el primero por el segundo al cuadrado, más el segundo al cubo«
«a cubo, más 3a-cuadrado por b, más 3a por b-cuadrado, más b cubo«
«Suma de cubos, más 3ab por a más b»
La diferencia de dos términos al cubo.
(a-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³
Forma abreviada
(a-b)³ = a³ – b³ – 3ab(a-b)
Ejemplos:
(x + 4)³ = x³ + 3.x².4 + 3.x.4² + 4³ = x³ + 12x² + 48x + 64
(m – 5)³ = m³ – 3.m².5 + 3.m.5² – 5³ = m³ – 15m² + 75m – 125
(-x + 2)³ = (-x)³ + 3.(-x)².2 + 3.(-x).2² + 2³ = -x³ + 6x² – 12x + 8
(2x – 4y)³ = (2x)³ – 3.(2x)².(4y) + 3.(2x).(4y)² – (4y)³ = 8x³ – 48x²y + 96xy² – 64y³
(3a³ + 7b⁴)³ = (3a³)³ + 3.(3a³)².(7b⁴) + 3.(3a³).(7b⁴)² + (7b⁴)³ = 27a⁹ + 189a⁶b⁴ + 441a³b⁸ + 343y¹²
(8x + 10)³ = (8x)³ + 10³ + 3.(8x)(10)(8x + 10) = 512x³ + 1920x² + 2400x + 1000
(x + 1/x)³ = (x)³ + 3.(x)².(1/x) + 3.(x).(1/x)² + (1/x)³ = x³ + 3x + 3/x² + 1/x³
- Si x+y=3 / xy= 4 , hallar: x³ + y³
Reemplazamos los datos en la propiedad:
(x+y)³ = x³ + y³ + 3xy(x+y)
3² = x³+y³+ 3(4)(3)
x³+y³ = -9
Cómo completar la propiedad sin tener que memorizar término por término – Probemos con el TRIÁNGULO DE PASCAL
Analiza los binomios con la siguiente herramienta interactiva creada por MI TUTOR REXY
Hasta aquí puedes descargar el siguiente resumen de fórmulas
4) Diferencia de cuadrados.
La diferencia de los cuadrados de dos cantidades es igual al producto de la suma por la diferencia de esas dos cantidades.
a² – b² = (a + b)(a – b)
Recomiendo:
«Los valores que van dentro de los paréntesis se obtienen al sacar la raíz cuadrada de los términos cuadráticos que se están restando«
Ejemplos:
x² – 17² = (x + 17)(x – 17)
m² – 25 = m² – 5² = (m – 5)(m + 5)
49 – y² = 7² – y² = (7 + y)(7 – y)
x⁶ – 4b² = (x³ + 2b)(x³ – 2b)
x¹² – 1 = (x⁶ + 1)(x⁶ – 1)
(m+n+2p)(m+n-2p) = (m+n)² – (2p)² = (m+n)² – 4p²
En sentido inverso también puede aparecer (te dan la suma por la diferencia y te piden expresarlo como diferencia de cuadrados):
(3x + 2y)(3x – 2y) = (3x)² – (2y)² = 9x² – 4y²
(x + 1/x)(x – 1/x) = (x)² – (1/x)² = x² – 1/x²
(5x – ab)(5x + ab) = (5x)² – (ab)² = 25x² – a²b²
(√2 – 8)(√2 + 8) = (√2)² – (8)² = 2 – 64 = -62
(11xⁿ – yᵐ)(11xⁿ + yᵐ) = (11xⁿ)² – (yᵐ)² = 121x²ⁿ – y²ᵐ
5) Producto de binomios con término en común.
«El resultado es un trinomio donde el primer término es el cuadrado del término común; el término del medio contiene la suma de los términos no iguales, por el término común y el último término es el producto de los términos no iguales.»
Rexy recomienda:
«Recordar la estructura con los signos SUMA entre los términos y, dentro de los paréntesis así como en el producto ponerlos incluyendo el signo de cada elemento»
Ejemplos:
(x – 7)(x + 4) = x² + (-7+4)x + (-7)(4) = x² – 3x – 28
(m + 25)(m + 4) = m² + (+25+4)m + (+25)(+4) = m² + 29m + 100
(y³ + 1)(y³ – 3) = (y³)² + (1-3)y³ + (1)(-3) = y⁶ – 2y³ – 3
(3x + 2)(3x – 10) = (3x)² + (2-10)3x + (2)(-10) = 9x² – 24x – 20
(8x² – 6)(8x² – 4) = (8x²)² + (-6 -4)8x² + (-6)(-4) = 64x⁴ – 192x⁴ + 24
(√2 – 3)(√2 + 5) = (√2)² + (-3 +5)√2 + (-3)(5) = 2 + 2√2 – 15 = – 13 +2√2
(x – √2)(x + √3) = x² + (-√2 +√3)x + (-√2)(√3) = x² + (-√2 +√3)x – √6
También:
(x+a)(x+b)(x+c) = x³+(a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x+abc
(x-a)(x-b)(x-c) = x³ – (a+b+c)x²+(ab+ac+bc)x – abc
6) Suma y diferencia de cubos.
«La suma de cubos resulta el producto de un binomio por un trinomio, donde el binomio es la suma de las raíces cúbicas de los términos iniciales y el trinomio es: Lo que quedó del primer término al cuadrado, menos el producto de los dos términos más lo que quedó del segundo término al cuadrado.»
Rexy recomienda algo práctico:
«El binomio es SUMA si es suma de cubos y, es RESTA si es resta de cubos; mientras que en el trinomio, el signo del MEDIO es contrario»
Ejemplos:
x³ + 1 = (x + 1)(x² – x +1)
y³ – 216 = y³ – 6³ = (y – 6)(y² + 6y + 36)
1000a⁹ – 1 = (10a³ – 1)((10a³)² + 10a³.1 + 1²) = (10a³ – 1)(100a⁶ + 10a³ + 1)
→ En sentido inverso:
(3x + 2)(9x² – 6x + 4) = (3x)³ + 2³ = 27x³ + 8
(x – 1)(x² + x +1) = x³ – 1
(√2 – 4)(18 + 4√2) = (√2 – 4)(√2² + √2.4 + 4²) = (√2)³ – 4³ = √8 – 64
(2xⁿ + 5yᵐ)((2xⁿ)² – 2xⁿ.5yᵐ + (5yᵐ)²) = (2xⁿ)³ – (5y³)³ = 8x³ⁿ – 125y⁹
7) Identidades de Legendre.
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
(a+b)² – (a-b)² = 4ab
«Cuadrado de la suma más cuadrado de la resta de dos términos es igual al doble de la suma de cuadrados de los términos«
«Cuadrado de la suma menos cuadrado de la resta de dos términos es igual a 4 veces el producto de los términos«
De esta propiedad se demuestra lo siguiente:
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[(a²+b²)² + (2ab)²]
(a+b)⁴ – (a-b)⁴ = 8ab(a² + b²)
(a-b)² = (b-a)²
Demostración
- Elevamos al cuadrado ambos lados:
[(a+b)² – (a-b)²]² = (4ab)²
(a+b)⁴ – 2(a+b)².(a-b)² + (a-b)⁴ = 16a²b²
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 16a²b² + 2(a+b)².(a-b)²
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 16a²b² + 2[(a+b).(a-b)]²
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 16a²b² + 2(a² – b²)²
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[(a² – b²)² + 8a²b²]
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[a⁴ – 2a²b² + b⁴ + 8a²b²]
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[a⁴ + 6a²b² + b⁴]
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[a⁴ + 2a²b² + b⁴ + 4a²b²]
(a+b)⁴ + (a-b)⁴ = 2[(a²+b²)² + (2ab)²]✔️
- Multiplicamos las dos propiedades de Legendre:
[(a+b)² + (a-b)²].[(a+b)² – (a-b)²] = 2(a²+b²).(4ab)
[(a+b)²]² – [(a-b)²]² = 8ab(a² + b²)
(a+b)⁴ – (a-b)⁴ = 8ab(a² + b²)✔️
- Intercambiamos los términos en la segunda propiedad y restamos hacia abajo:
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
(b+a)² – (b-a)² = 4ba
(a+b)² + (a-b)² – [(b+a)² – (b-a)²] = 2(a²+b²) – 4ab
(a+b)² + (a-b)² – (b+a)² + (b-a)² = 2[a²+b² – 2ab]
(a-b)² + (b-a)² = 2(a-b)²
(b-a)² = 2(a-b)² – (a-b)²
(b – a)² = (a – b)²✔️
Ejemplos:
(x+2)² + (x-2)² = 2(x²+2²) = 2(x²+4)
(m+5)² – (m-5)² = 4.m.5 = 20m
(a+10)² + (a-10)² = 2(a²+10²) = 2(a²+100)
(2x+3y)² + (2x-3y)² = 2[(2x)²+(3y)²] = 2(4x²+9y²)
(x+1/x)² – (x-1/x)² = 4.x.1/x = 4
(x+1)⁴ + (x-1)⁴ = 2[(x²+1²)² + (2x.1)²]
(5p+3q)⁴ – (5p-3q)⁴ = 8.5p.3q[(5p)² + (3q)²] = 120pq(25p² + 9q²)
8) Trinomio al cuadrado.
(a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+ac+bc)
Consecuencia:
(ab+ac+bc)² = (ab)²+(ac)²+(bc)²+2abc(a+b+c)
9) Trinomio al cubo.
(a+b+c)³ = a³+b³+c³ + 3(a+b)(a+c)(b+c)
Ejemplos:
1. (x²+x+1)³ = (x²)³+(x)³+1³+3(x²+x)(x²+1)(x+1)
= x⁶+x³+1+3(x²+x)(x²+1)(x+1)
2. Si a³+b³+c³ = 0, hallar el valor de
Resolución:
Utilizamos: (a+b+c)³= a³+b³+c³ + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) – 3abc
Por dato: a³+b³+c³ = 0
Entonces:
(a+b+c)³= 0 + 3(a+b+c)(ab+ac+bc) – 3abc
10) Identidad de Gauss.
Ejemplos:
11) Identidad de Argan’d.
(x²+x+1)(x²-x+1) = x⁴+x+1
(x²+xy+y²)(x²-xy+y²) = x⁴+x²y²+y⁴
12) Identidades condicionales.
Si a+b+c = 0
Se cumple:
